凯利公式推导过程详解_凯利公式的详细推导

各位好，本篇文章主要解析凯利公式推导过程详解，同时也会补充一些关于凯利公式的详细推导的学习建议。

本文目录

1. 凯利公式的推导过程
2. 凯利公式简单理解
3. 凯利公式经典口诀是什么

在投资领域，凯利公式（Kelly Criterion）是一个非常重要的概念。它可以帮助投资者确定在每一轮投资中应该投入多少资金，以达到长期最大化收益的目的。今天，我们就来详细解析一下凯利公式的推导过程，让你对这一投资神器有更深入的了解。

一、凯利公式的起源

凯利公式最初由美国数学家约翰·凯利（John L. Kelly）在20世纪50年代提出。当时，他主要研究的是赌场游戏中的投注策略。后来，这一公式被广泛应用于金融投资领域，成为投资者们争相学习的投资神器。

二、凯利公式的定义

凯利公式可以表示为凯利公式推导过程详解：

f = (bp - q) / b

其中：

• f 表示每轮投资中应该投入的资金比例；
• b 表示每单位资金获胜时的收益倍数；
• p 表示获胜的概率；
• q 表示失败的概率，即 1 - p。

三、凯利公式的推导过程

1. 基本假设

在推导凯利公式之前，我们需要做一些基本假设：

• 投资者每次投资都是独立的；
• 投资者每次投资的结果只有两种可能：获胜或失败；
• 获胜时，投资者可以获得 b 倍的收益；
• 失败时，投资者会损失全部投资。

2. 期望收益

我们来计算每轮投资的期望收益。设投资者初始资金为 W，每轮投资资金为 fW，那么：

• 获胜时，投资者的资金变为 (W + fWb)；
• 失败时，投资者的资金变为 (W - fW)。

因此，每轮投凯利公式推导过程详解资的期望收益为：

E = p * (W + fWb) + q * (W - fW)

3. 期望增长率

接下来，我们计算每轮投资的期望增长率。设投资者初始资金为 W，经过 n 轮投资后，投资者的资金变为 W'，那么：

W' = W * (1 + f)^n

因此，每轮投资的期望增长率为：

r = (W' / W)^(1/n) - 1

4. 最大化期望增长率

为了最大化长期收益，我们需要找到最优的 f 值。为此，我们对期望增长率 r 求导，并令其等于 0，得到：

d(r) / d(f) = (1 + f)^(n-1) * (bp - q) / (1 + f)^n = 0

化简后得到：

bp - q = 0

解得：

f = (bp - q) / b

这就是凯利公式的推导过程。

四、凯利公式的应用

凯利公式在投资领域的应用非常广泛，以下是一些常见的应用场景：

1. 股票投资：投资者可以根据凯利公式确定每轮投资中应该投入多少资金，以最大化长期收益。

2. 期货投资：凯利公式可以帮助期货投资者确定每手合约的仓位大小，以降低风险。

3. 外汇投资：凯利公式可以帮助外汇投资者确定每笔交易的资金比例，以实现稳健的投资收益。

五、总结

凯利公式是一种非常实用的投资工具，它可以帮助投资者在风险可控的前提下，实现长期收益的最大化。通过本文的讲解，相信你已经对凯利公式的推导过程有了深入的了解。在实际应用中，投资者可以根据自己的投资策略和市场情况，灵活运用凯利公式，为自己的投资之路保驾护航。

以下是一个简单的表格，展示了凯利公式在不同投资场景下的应用：

希望这篇文章能够帮助你更好地理解凯利公式，并在投资中取得成功！

凯利公式的推导过程

探讨凯利公式的推导过程，我们首先设定资本金为1，成功概率为p，收益为+W；失败概率为q，收益为-L。目的是求解最优投入比例x，以在累积n次后使总资产收益最大化。

构建期望收益率函数为f(x)=(1+W*x)^p*(1-L*x)^q。接着，通过求解目标函数的极值，令f’(x)=0。经过一系列计算，我们得到最优投入比例x=(p*W-q*L)/(W*L)，若将赔率b定义为W/L，则x=(p-q/b)/L。

特别地，当L=1时，即“一次投资的最大亏损是被清零”，x=p-q/b即为凯利公式。

举例说明，若投资项目有70%概率翻倍，30%概率清零，W=1,L=1,b=1;p=0.7,q=0.3。最优策略投入比例是x=0.7-0.3/1=0.4，若有100万元资本金，应投入40万元以达到最优。此时期望收益率为f(x)=(1+1*0.4)^0.7*(1-1*0.4)^0.3=1.086。

实际上，凯利公式的期望收益率往往低于直观预期，即使表面上有高成功率和高收益率。一般而言，考虑综合风险后，投资实体项目期望收益率在+8.6%左右，与金融股票市场年均+8%的收益率相当。

目标函数f(x)的推导基于末态资产和递推关系。通过合并胜利与失败的局数，得到an=a0*(1+W*x)^S*(1-L*x)^F。进一步定义平均每次收益率为r，期望收益率函数f(x)=(1+r)^(1/n)，从而得出f(x)=(1+W*x)^p*(1-L*x)^q。

对于横向投资的最优策略，当10个项目拥有相同的胜率与赔率时，显然每个项目都是平等的盈利机会。因此，最佳策略是平均分配资本，即每个项目投入相同资金。在本例中，100万元投资到10个项目上，每个项目10万元，总资本期望值为140万元，这低于纵向策略的总收益。

通过比较横向与纵向事例的收益，我们可以看出两凯利公式推导过程详解者之间存在不对称性。横向策略在每个项目上的分配是等权的，而纵向策略则集中在少数高收益项目上。这说明在不同投资策略下，收益表现可能会有很大差异。

凯利公式简单理解

凯利公式是：f*=(bp- q)/ b，f*=投注金额占总资金的比例，p=获胜的概率，q=失败的概率，q= 1-p，b=赔率。

摘要：凯利公式是f*=(bp- q)/ b，f*=投注金额占总资金的比例，p=获胜的概率，q=失败的概率，q= 1-p，b=赔率。f*=(bp- q)/ b

其中，f*=投注金额占总资金的比例

p=获胜的概率

q=失败的概率，q= 1-p

b=赔率，例如在轮盘赌中押单个数字，b= 35，押红黑，b= 1。

比如21点下注问题，假设总赌本10,000美元，玩家取胜的概率是51%，赔率1：1（实际胜率和赔率略有偏差，但相距不大），那么凯利公式给出的最佳赌注是：

$10000*(1* 0.51- 0.49)/ 1=$200

首先，公式中分子的bp- q代表“赢面”，数学中叫“期望值”(expectation)，凯利公式指出：正期望值的游戏才可以下注，这是一切赌戏和投资最基本的道理，也就是前面讲的“没有把握，决不下注”。

其次，赢面还要除以“b”才是投注资金比例。也就是说赢面相同的情况下，赔率越小越可以多押注。这一点不容易直观理解，我们用个例子来说明。下面三个正期望值的游戏例子：

1.“小博大”：胜率20%，赢了1赔5，输了全光。bp- q=5*20%- 80%= 20%

2.“中博中”：胜率60%，1赔1。bp- q= 1*60%-40%= 20%

3.“大博小”：胜率80%，1赔0.5。bp- q= 0.5*80%- 20%= 20%

凯利公式经典口诀是什么

凯利公式经典口诀：f=b*p-q/b（b为盈亏比，p为胜率，q为亏损概率，即q=1-p）。

例一:假设胜率50%

下注仓位百分比F=50%-（1-50%）/2盈亏比=50%-25%=25%，也就是说，如果你胜率

为50%（扔硬币正反面），正面赢200元，反面输100元，那么每次扔硬币，你最多投入25%仓

位。这样能将你倒霉连输的导致破产的概率降低！

例二：假设胜率60%

下注仓位百分比F=60%-（1-60%）/2=60%-20%=40%，也就是说当你胜率60%的情况

下，2比1盈亏比，你扔硬币正反面，你每次投入的仓位百分比是40%

例子三：假设胜率70%

下注仓位百分比F=70%-（1-70%）/2=70%-15%=55%，也就是说当你胜率70%的情况下，2

比1盈亏比，你扔硬币正反面，你每次投入的仓位百分比是55%

例子四：假设凯利公式推导过程详解胜率80%

下注仓位百分比F=80%-（1-80%）/2=80%-10%=70%，也就是说当你胜率80%的情况下，2

比1盈亏比，你扔硬币正反面，你每次投入的仓位百分比是70%

本次关于凯利公式推导过程详解和凯利公式的详细推导的分享结束啦，期待您的下次光临！